Упр.57.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\sqrt{\sin x — 1} \le 4 — x^2$$; б) $$\sqrt{\cos x — 1} \ge x^2 — 49$$.
а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{\sin x-1}\le 4-x^2.$$
Чтобы выражение под корнем имело смысл, нужно:
$$\sin x-1\ge 0,$$
то есть
$$\sin x=1,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
При этих значениях $$\sqrt{\sin x-1}=\sqrt{1-1}=0.$$
Тогда неравенство сводится к условию
$$0\le 4-x^2,$$
или
$$x^2\le 4,\qquad -2\le x\le 2.$$
Из всех значений $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ этому промежутку удовлетворяет только
$$x=\frac{\pi}{2}.$$
б) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{\cos x-1}\ge x^2-49.$$
Для существования корня нужно:
$$\cos x-1\ge 0,$$
то есть
$$\cos x=1,$$
откуда
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
При этих значениях
$$\sqrt{\cos x-1}=\sqrt{1-1}=0.$$
Тогда неравенство принимает вид
$$0\ge x^2-49,$$
или
$$x^2\le 49,\qquad -7\le x\le 7.$$
Из чисел вида $$x=2\pi n$$ этому промежутку удовлетворяют
$$x=0,\ \pm 2\pi.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2};$$ б) $$x\in\{0,\pm 2\pi\}.$$
