Упр.57.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(x^2-2x\right)\left(\operatorname{tg}^2 x+2^{x+1}\right)\leq 0$$;
б) $$\left(x^2+4x\right)\left(\operatorname{ctg}^2 x+3^{x-1}\right)\leq 0$$.

а) Так как $$\tg^2 x \ge 0$$ и $$2^{x+1} > 0$$ при любых $$x$$, то

$$\tg^2 x + 2^{x+1} > 0$$

при всех $$x \ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Тогда неравенство равносильно системе

$$\begin{cases} x^2-2x \le 0,\\ x \ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z. \end{cases}$$

Решаем первое неравенство:

$$x(x-2)\le 0 \quad \Rightarrow \quad 0\le x\le 2.$$

Исключаем точки, где выражение не имеет смысла: $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n.$$

На отрезке $$[0;2]$$ это даёт исключение точки $$x=\dfrac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2};2\right].$$

б) Аналогично, так как $$\ctg^2 x \ge 0$$ и $$3^{x-1}>0$$, то

$$\ctg^2 x + 3^{x-1} > 0$$

при всех $$x \ne \pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Тогда получаем систему

$$\begin{cases} x^2+4x \le 0,\\ x \ne \pi n,\; n\in\mathbb Z. \end{cases}$$

Решаем первое неравенство:

$$x(x+4)\le 0 \quad \Rightarrow \quad -4\le x\le 0.$$

Исключаем точки, где выражение не имеет смысла: $$x=\pi n.$$

На отрезке $$[-4;0]$$ это точки $$x=-\pi$$ и $$x=0.$$

Итак,

$$x\in[-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$

Ответ

а) $$x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2};2\right]$$; б) $$x\in[-4;-\pi)\cup(-\pi;0).$$