Упр.57.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$\left(x+3\right)\log_{\frac{1}{7}}x<0$$;
   б) $$\left(x-5\right)\sqrt{x+1}<0$$;
   в) $$\frac{e^{3x-1}-1}{x+8}>0$$;
   г) $$x\sqrt{x+7}<0$$.

а) Рассмотрим произведение $$\left(x+3\right)\log_{\frac17}x<0.$$

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков.

1) $$x+3>0,\quad \log_{\frac17}x<0.$$

Тогда $$x>-3,$$ а так как основание логарифма $$\frac17<1,$$ то $$\log_{\frac17}x<0 \iff x>1.$$

Получаем $$x>1.$$

2) $$x+3<0,\quad \log_{\frac17}x>0.$$

Тогда $$x<-3,$$ но для логарифма нужно $$x>0,$$ что невозможно.

Следовательно, $$x\in(1;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(x-5\right)\sqrt{x+1}<0.$$

Область определения: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

Так как $$\sqrt{x+1}\ge 0,$$ то произведение будет отрицательным только при

$$x-5<0,\quad \sqrt{x+1}>0.$$

Отсюда

$$x<5,\quad x>-1.$$

Значит, $$x\in(-1;5).$$

в) Решим неравенство $$\dfrac{e^{3x-1}-1}{x+8}>0.$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака.

1) $$e^{3x-1}-1>0,\quad x+8>0.$$

Тогда $$e^{3x-1}>1 \iff 3x-1>0 \iff x>\frac13,$$ и одновременно $$x>-8.$$

Получаем $$x>\frac13.$$

2) $$e^{3x-1}-1<0,\quad x+8<0.$$

Тогда $$e^{3x-1}<1 \iff 3x-1<0 \iff x<\frac13,$$ и одновременно $$x<-8.$$

Получаем $$x<-8.$$

Следовательно, $$x\in(-\infty;-8)\cup\left(\frac13;+\infty\right).$$

г) Рассмотрим неравенство $$x\sqrt{x+7}<0.$$

Область определения: $$x+7\ge 0,\quad x\ge -7.$$

Так как $$\sqrt{x+7}\ge 0,$$ то произведение отрицательно при

$$x<0,\quad \sqrt{x+7}>0.$$

Отсюда

$$x<0,\quad x>-7.$$

Значит, $$x\in(-7;0).$$

Ответ: а) $$x\in(1;+\infty)$$; б) $$x\in(-1;5)$$; в) $$x\in(-\infty;-8)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$; г) $$x\in(-7;0).$$