Упр.57.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Данное неравенство замените равносильным рациональным неравенством:
   а) $$\lg(x^2+9)>\lg(2x^2+4)$$;
   б) $$1{,}4^{7x-9}\leqslant 1{,}4^{x^2-6}$$;
   в) $$\sqrt[5]{4x-9}\geqslant\sqrt[5]{7x+9}$$;
   г) $$\log_{0{,}2}(16x^2+8)<\log_{0{,}2}(x^2+1)$$.

а) Так как основание логарифма $$10>1,$$ то знак неравенства сохраняется. При этом аргументы логарифмов должны быть положительными:

$$x^2+9>0,\qquad 2x^2+4>0.$$

Оба условия выполняются при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Тогда равносильное рациональное неравенство:

$$x^2+9>2x^2+4.$$

б) Основание степени $$1{,}4>1,$$ значит знак неравенства сохраняется:

$$7x-9\le x^2-6.$$

в) Функция $$\sqrt[5]{x}$$ возрастает, так как корень нечётной степени. Поэтому можно возвести обе части в пятую степень:

$$4x-9\ge 7x+9.$$

г) Так как основание логарифма $$0{,}2<1,$$ то при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Область определения:

$$16x^2+8>0,\qquad x^2+1>0.$$

Оба условия выполняются при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Тогда равносильное рациональное неравенство:

$$16x^2+8>x^2+1.$$

Ответ

а) $$x^2+9>2x^2+4$$; б) $$7x-9\le x^2-6$$; в) $$4x-9\ge 7x+9$$; г) $$16x^2+8>x^2+1$$.