Упр.57.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\left(2^x-3\right)\left(3x-4\right)\leq 0$$; б) $$\left(3\log_3 x-1\right)\left(3x-4\right)\geq 0$$.

а) Рассмотрим произведение $$\left(2^x-3\right)\left(3x-4\right)\le 0.$$

Нули множителей:

$$2^x-3=0 \Rightarrow x=\log_2 3,$$

$$3x-4=0 \Rightarrow x=\frac{4}{3}.$$

Так как $$2^x-3$$ возрастает, а $$3x-4$$ тоже возрастает, произведение не положительно там, где множители разных знаков, а также в точках их обращения в нуль. Получаем:

$$\frac{4}{3}\le x\le \log_2 3.$$

При этом $$\frac{4}{3}<\log_2 3,$$ значит промежуток существует.

б) Решим неравенство $$\left(3\log_3 x-1\right)\left(3x-4\right)\ge 0.$$

Область определения: $$x>0.$$

Нули множителей:

$$3\log_3 x-1=0 \Rightarrow \log_3 x=\frac13 \Rightarrow x=\sqrt[3]{3},$$

$$3x-4=0 \Rightarrow x=\frac{4}{3}.$$

Рассмотрим знаки множителей на промежутках, учитывая, что $$\sqrt[3]{3}>\frac{4}{3}.$$ Тогда произведение неотрицательно при

$$0<x\le \frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x\ge \sqrt[3]{3}.$$

Ответ: а) $$x\in\left[\frac{4}{3};\log_2 3\right]$$; б) $$x\in\left(0;\frac{4}{3}\right]\cup\left[\sqrt[3]{3};+\infty\right).$$