Упр.57.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$(x-2)\log_{4}(x+2)\geq 0$$; б) $$(3-x)\sqrt{\log_{3}(x+5)}\leq 0$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\left(x-2\right)\log_4(x+2)\ge 0.$$

Область определения: $$x+2>0,\quad x>-2.$$

Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

1. $$x-2\ge 0,\quad \log_4(x+2)\ge 0.$$
2. $$x-2\le 0,\quad \log_4(x+2)\le 0.$$

Так как основание логарифма $$4>1,$$ то

$$\log_4(x+2)\ge 0 \iff x+2\ge 1 \iff x\ge -1,$$

$$\log_4(x+2)\le 0 \iff 0<x+2\le 1 \iff -2<x\le -1.$$

Тогда:

1) $$x\ge 2,$$

2) $$-2<x\le -1.$$

Объединяя решения, получаем:

$$x\in(-2;\,-1]\cup[2;\,+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(3-x\right)\sqrt{\log_3(x+5)}\le 0.$$

Для существования корня нужно:

$$\log_3(x+5)\ge 0.$$

Так как $$3>1,$$ то

$$\log_3(x+5)\ge 0 \iff x+5\ge 1 \iff x\ge -4.$$

Теперь учитываем знак корня: $$\sqrt{\log_3(x+5)}\ge 0.$$

Произведение $$\left(3-x\right)\sqrt{\log_3(x+5)}\le 0$$ выполняется, если:

1. $$\sqrt{\log_3(x+5)}=0,$$ то есть $$\log_3(x+5)=0 \iff x=-4;$$
2. $$3-x\le 0,$$ то есть $$x\ge 3,$$ при условии $$x\ge -4,$$ которое уже выполнено.

Следовательно,

$$x=-4 \text{ или } x\ge 3.$$

Итак,

Ответ: а) $$x\in(-2;\,-1]\cup[2;\,+\infty);$$ б) $$x=-4$$ или $$x\in[3;\,+\infty).$$