Упр.57.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$4^{\sqrt{x}}-9\cdot2^{\sqrt{x}}+8<0$$;
  б) $$9^{\sqrt{x}}-10\cdot3^{\sqrt{x}}+9<0$$.

а) $$4^{\sqrt{x}}-9\cdot 2^{\sqrt{x}}+8<0$$

Сделаем замену: $$2^{\sqrt{x}}=t,\quad t>0.$$ Тогда получаем

$$t^2-9t+8<0.$$

Разложим на множители:

$$(t-1)(t-8)<0.$$

Отсюда

$$1<t<8.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$1<2^{\sqrt{x}}<8.$$

Так как $$8=2^3,$$ то

$$2^0<2^{\sqrt{x}}<2^3,$$

значит

$$0<\sqrt{x}<3.$$

Следовательно,

$$0<x<9.$$

б) $$9^{\sqrt{x}}-10\cdot 3^{\sqrt{x}}+9<0$$

Сделаем замену: $$3^{\sqrt{x}}=t,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-10t+9<0.$$

Разложим на множители:

$$(t-1)(t-9)<0.$$

Отсюда

$$1<t<9.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$1<3^{\sqrt{x}}<9.$$

Так как $$9=3^2,$$ то

$$3^0<3^{\sqrt{x}}<3^2,$$

значит

$$0<\sqrt{x}<2.$$

Следовательно,

$$0<x<4.$$

Ответ

а) $$x\in(0;9);$$ б) $$x\in(0;4).$$