Упр.57.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$9^{x+2}+4\cdot 3^{2x+2}\geq 4\frac{1}{3};$$
2. $$8^{x-2}+3\cdot 2^{3x-2}\leq 24\frac{1}{2}.$$

а) $$9^{x+2}+4\cdot 3^{2x+2}\ge 4\tfrac13$$

Преобразуем правую часть и основания степеней:

$$4\tfrac13=\frac{13}{3},\qquad 9^{x+2}=3^{2x+4},\qquad 3^{2x+2}=3^{2x}\cdot 3^2.$$

Тогда

$$3^{2x+4}+4\cdot 3^{2x}\cdot 3^2\ge \frac{13}{3}$$

$$3^{2x}\cdot 3^4+4\cdot 9\cdot 3^{2x}\ge \frac{13}{3}$$

$$81\cdot 3^{2x}+36\cdot 3^{2x}\ge \frac{13}{3}$$

$$117\cdot 3^{2x}\ge \frac{13}{3}$$

$$3^{2x}\ge \frac{1}{27}=3^{-3}.$$

Так как функция $$3^t$$ возрастает, получаем:

$$2x\ge -3,\qquad x\ge -\frac32.$$

б) $$8^{x-2}+3\cdot 2^{3x-2}\le 24\tfrac12$$

Преобразуем:

$$24\tfrac12=\frac{49}{2},\qquad 8^{x-2}=2^{3x-6},\qquad 2^{3x-2}=\frac{2^{3x}}{4}.$$

Тогда

$$2^{3x-6}+3\cdot \frac{2^{3x}}{4}\le \frac{49}{2}$$

$$\frac{2^{3x}}{64}+\frac{3\cdot 2^{3x}}{4}\le \frac{49}{2}$$

$$\frac{2^{3x}}{64}+\frac{48\cdot 2^{3x}}{64}\le \frac{49}{2}$$

$$\frac{49\cdot 2^{3x}}{64}\le \frac{49}{2}$$

$$2^{3x}\le 32=2^5.$$

Так как функция $$2^t$$ возрастает, получаем:

$$3x\le 5,\qquad x\le \frac53.$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac32;\,+\infty\right);$$ б) $$x\in\left(-\infty;\,\frac53\right].$$