Упр.57.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$x^2+1\geq\cos x$$; б) $$\sin x\leq-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$; в) $$x^2+1\leq\cos x$$; г) $$\sin x\geq-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$.

Рассмотрим каждое неравенство как сравнение двух функций.

1. $$x^2+1\ge \cos x$$

   Функция $$y=x^2+1$$ принимает значения не меньше $$1$$, так как $$x^2\ge 0$$. Функция $$y=\cos x$$ не превосходит $$1$$:

   $$x^2+1\ge 1\ge \cos x.$$

   Значит, неравенство верно при всех $$x$$.

2. $$\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Функция $$y=-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$ не больше $$-1$$, так как $$\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2\ge 0$$. А для синуса всегда $$\sin x\ge -1$$.

   Чтобы выполнялось неравенство $$\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$, обе функции должны быть равны $$-1$$:

   $$\sin x=-1,\qquad -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1=-1.$$

   Из второго равенства получаем:

   $$\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2=0,\qquad x=-\frac{\pi}{2}.$$

3. $$x^2+1\le \cos x$$

   Так как $$x^2+1\ge 1$$, а $$\cos x\le 1$$, то неравенство возможно только при

   $$x^2+1=1,\qquad \cos x=1.$$

   Отсюда $$x=0$$.

4. $$\sin x\ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Здесь $$\sin x\ge -1$$, а правая часть не превосходит $$-1$$. Следовательно, неравенство выполняется при всех $$x\in\mathbb R$$.

Ответ: а) $$x\in\mathbb R$$; б) $$x=-\frac{\pi}{2}$$; в) $$x=0$$; г) $$x\in\mathbb R$$.