Упр.57.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- $$\log_2 x < 6-x$$
- $$\log_3 x \ge x^3$$
- $$\log_2 x \ge 6-x$$
- $$\log_3 x < x^3$$
а) Рассмотрим функции $$y=\log_2 x$$ и $$y=6-x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$y=\log_2 x$$ возрастает, а функция $$y=6-x$$ убывает, значит они пересекаются в одной точке. Найдём её:
$$\log_2 4=2,\qquad 6-4=2.$$
Точка пересечения: $$x=4.$$
Так как нужно $$\log_2 x<6-x,$$ то берём промежуток, где график логарифма ниже прямой:
$$0<x<4.$$
б) Рассмотрим функции $$y=\log_3 x$$ и $$y=x^3.$$
Область определения: $$x>0.$$
Проверим возможную точку пересечения:
$$\log_3 1=0,\qquad 1^3=1,$$
$$\log_3 3=1,\qquad 3^3=27.$$
При $$x>0$$ кубическая функция растёт значительно быстрее логарифмической, поэтому график $$y=\log_3 x$$ ниже графика $$y=x^3$$ на всей области определения.
Следовательно, решений нет:
$$\varnothing.$$
в) Рассмотрим функции $$y=\log_2 x$$ и $$y=6-x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Точка пересечения та же: $$x=4.$$
Теперь нужно $$\log_2 x\ge 6-x,$$ значит берём все $$x$$, где график логарифма не ниже прямой:
$$x\ge 4.$$
г) Рассмотрим функции $$y=\log_3 x$$ и $$y=x^3.$$
Область определения: $$x>0.$$
При $$x>0$$ выполняется $$\log_3 x<x^3,$$ то есть график логарифма расположен ниже графика кубической функции на всей области определения.
Значит, решение — все положительные числа:
$$x>0.$$
Ответ
а) $$x\in(0;4).$$
б) $$\varnothing.$$
в) $$x\ge 4.$$
г) $$x>0.$$
