Упр.57.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство, применяя функционально-графические методы: а) $$3^x>12-1{,}5x$$; б) $$2^x>\sqrt{x}$$; в) $$3^x\leq 12-1{,}5x$$; г) $$2^x\leq\sqrt{x}$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$3^x>12-1{,}5x$$

   Рассмотрим функции $$y=3^x$$ и $$g=12-1{,}5x$$. Первая функция возрастает при всех $$x\in \mathbb{R}$$, вторая убывает при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит они пересекаются в одной точке.

   Проверим значение $$x=2$$:

   $$3^2=9,\qquad 12-1{,}5\cdot 2=12-3=9.$$

   Точка пересечения: $$x=2$$. Так как левая функция возрастает, а правая убывает, то неравенство выполняется при

   $$x>2.$$

2. $$2^x>\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Рассмотрим функции $$y=2^x$$ и $$y=\sqrt{x}$$. При $$x=0$$ имеем:

   $$2^0=1,\qquad \sqrt{0}=0.$$

   Далее для $$x>0$$ экспоненциальная функция $$2^x$$ растёт быстрее, чем $$\sqrt{x}$$, поэтому неравенство выполняется при всех допустимых $$x$$.

   Следовательно,

   $$x\in [0;+\infty).$$

3. $$3^x\le 12-1{,}5x$$

   Точка пересечения графиков та же: $$x=2$$. Так как $$3^x$$ возрастает, а $$12-1{,}5x$$ убывает, то неравенство выполняется слева от точки пересечения, включая её:

   $$x\le 2.$$

4. $$2^x\le \sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   При $$x=0$$ получаем $$2^0=1>0=\sqrt{0}$$. Для всех $$x>0$$ график $$y=2^x$$ лежит выше графика $$y=\sqrt{x}$$, поэтому решений нет.

   $$\varnothing$$

Ответ: а) $$x>2$$; б) $$x\in [0;+\infty)$$; в) $$x\le 2$$; г) $$\varnothing$$.