Упр.57.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2\sin^2 x-3\sin x+1\leq 0$$; б) $$\cos^2 x-5\cos x+4\leq 0$$.

а) Сделаем замену: $$\sin x=t.$$ Тогда получаем неравенство

$$2t^2-3t+1\le 0.$$

Разложим на множители:

$$2t^2-3t+1=(2t-1)(t-1).$$

Тогда

$$(2t-1)(t-1)\le 0,$$

откуда

$$\frac12\le t\le 1.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\frac12\le \sin x\le 1.$$

Так как $$\sin x\ge \frac12,$$ то

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Сделаем замену: $$\cos x=t.$$ Тогда получаем неравенство

$$t^2-5t+4\le 0.$$

Разложим на множители:

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4).$$

Тогда

$$(t-1)(t-4)\le 0,$$

откуда

$$1\le t\le 4.$$

Но $$t=\cos x$$ и всегда $$-1\le \cos x\le 1,$$ значит подходит только

$$\cos x=1.$$

Следовательно,

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$