Упр.57.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_2^2(x-1)+3\log_2(x-1)+2\geq0$$; б) $$9^{\log_{0,1}x}-4\cdot3^{\log_{0,1}x}+0,1^{\log_{0,1}3}<0$$.

а) Сделаем замену:

$$\log_2(x-1)=t.$$

Тогда получаем:

$$t^2+3t+2\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$(t+2)(t+1)\ge 0.$$

Отсюда:

$$t\le -2 \quad \text{или} \quad t\ge -1.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\log_2(x-1)\le -2 \quad \text{или} \quad \log_2(x-1)\ge -1.$$

Так как $$x-1>0,$$ то

$$x-1\le 2^{-2}=\frac14 \quad \text{или} \quad x-1\ge 2^{-1}=\frac12.$$

Следовательно,

$$1<x\le \frac54 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32.$$

б) Сделаем замену:

$$3^{\log_{0,1}x}=t.$$

Тогда неравенство примет вид:

$$t^2-4t+3<0.$$

Разложим на множители:

$$(t-1)(t-3)<0.$$

Отсюда:

$$1<t<3.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$1<3^{\log_{0,1}x}<3.$$

Так как основание $$3>1,$$ получаем:

$$0<\log_{0,1}x<1.$$

Поскольку основание логарифма $$0{,}1<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументу меняется:

$$0{,}1<x<1.$$

Ответ: а) $$x\in\left(1;\frac54\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right);$$ б) $$x\in(0{,}1;1).$$