Упр.57.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_2^2 x-7\log_2 x+12<0$$; б) $$3\log_{\frac{1}{2}}^2 x-10\log_{\frac{1}{3}}x+3\geqslant0$$.

Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда

$$\log_2^2 x-7\log_2 x+12<0 \;\Longrightarrow\; t^2-7t+12<0.$$

Разложим на множители:

$$(t-3)(t-4)<0.$$

Отсюда

$$3<t<4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3<\log_2 x<4.$$

Так как основание логарифма $$2>1$$, получаем

$$2^3<x<2^4,$$

то есть

$$8<x<16.$$

Пусть $$t=\log_{\frac13} x.$$ Тогда

$$3\log_{\frac13}^2 x-10\log_{\frac13} x+3\ge 0 \;\Longrightarrow\; 3t^2-10t+3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$(3t-1)(t-3)\ge 0.$$

Отсюда

$$t\le \frac13 \quad \text{или} \quad t\ge 3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$. Так как $$0<\frac13<1$$, знак неравенства при переходе к $$x$$ меняется:

$$\log_{\frac13} x\le \frac13 \;\Longrightarrow\; x\ge \left(\frac13\right)^{\frac13}=\frac1{\sqrt[3]{3}},$$

$$\log_{\frac13} x\ge 3 \;\Longrightarrow\; 0<x\le \left(\frac13\right)^3=\frac1{27}.$$

Следовательно,

$$x\in \left(0;\frac1{27}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in(8;16)$$; б) $$x\in \left(0;\frac1{27}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$