Упр.57.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3^x+3^{-x+1}\leq 4$$;
б) $$25^{-x}-50>5^{-x+1}$$.

а) Рассмотрим неравенство $$3^x+3^{-x+1}\le 4.$$

Преобразуем его:

$$3^x+\frac{3}{3^x}\le 4.$$

Сделаем замену $$t=3^x,$$ тогда $$t>0.$$ Получаем:

$$t+\frac{3}{t}\le 4.$$

Умножим на $$t>0$$:

$$t^2-4t+3\le 0.$$

Разложим на множители:

$$(t-1)(t-3)\le 0.$$

Отсюда

$$1\le t\le 3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$1\le 3^x\le 3.$$

Так как функция $$3^x$$ возрастает, получаем:

$$0\le x\le 1.$$

б) Рассмотрим неравенство $$25^{-x}-50>5^{-x+1}.$$

Преобразуем степени:

$$5^{-2x}-50>5\cdot 5^{-x}.$$

Сделаем замену $$t=5^{-x},$$ тогда $$t>0.$$ Получаем:

$$t^2-5t-50>0.$$

Разложим на множители:

$$(t+5)(t-10)>0.$$

Так как $$t>0,$$ то подходит только

$$t>10.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$5^{-x}>10.$$

Так как основание $$5>1,$$ имеем:

$$-x>\log_5 10,$$

откуда

$$x<-\log_5 10=\log_5 0{,}1.$$

Ответ

а) $$x\in[0;1].$$
б) $$x<\log_5 0{,}1.$$