Упр.57.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}\leq 10{,}5$$;

б) $$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\geq 2{,}8$$.

а) $$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}\le 10{,}5$$

Преобразуем выражение:

$$3\cdot 3^x\cdot \frac{2}{2^x}+3^x\cdot \frac{1}{2^x}\le 10{,}5$$

$$6\left(\frac{3}{2}\right)^x+\left(\frac{3}{2}\right)^x\le 10{,}5$$

Сделаем замену:

$$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x,\quad t>0$$

Тогда

$$6t+t\le 10{,}5$$

$$7t\le 10{,}5$$

$$t\le 1{,}5$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x\le \frac{3}{2}$$

Так как $$\frac{3}{2}>1$$, получаем

$$x\le 1$$

Ответ: $$x\in(-\infty;1]$$.

б) $$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8$$

Преобразуем выражение:

$$2^x\cdot 5\cdot 5^{-x}+2\cdot 2^x\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8$$

$$5\left(\frac{2}{5}\right)^x+2\left(\frac{2}{5}\right)^x\ge 2{,}8$$

Сделаем замену:

$$t=\left(\frac{2}{5}\right)^x,\quad t>0$$

Тогда

$$5t+2t\ge 2{,}8$$

$$7t\ge 2{,}8$$

$$t\ge 0{,}4$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x\ge 0{,}4=\frac{2}{5}$$

Так как $$0<\frac{2}{5}<1$$, знак неравенства при переходе к показателю меняется:

$$x\le 1$$

Ответ: $$x\in(-\infty;1]$$.