Упр.57.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство методом введения новой переменной:

а) $$3^{2x}-2\cdot3^x-3\geq0$$;

б) $$2\cdot5^{2x}-5^x-1\leq0$$.

а) Сделаем замену: $$3^x=t,$$ где $$t>0.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$t^2-2t-3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-3\right)\left(t+1\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$t\le -1 \text{ или } t\ge 3.$$

Так как $$t>0,$$ то подходит только $$t\ge 3.$$ Возвращаемся к исходной переменной:

$$3^x\ge 3,$$

$$3^x\ge 3^1,$$

значит,

$$x\ge 1.$$

б) Сделаем замену: $$5^x=t,$$ где $$t>0.$$ Тогда получаем

$$2t^2-t-1\le 0.$$

Разложим на множители:

$$\left(2t+1\right)\left(t-1\right)\le 0.$$

Корни: $$t=-\frac12$$ и $$t=1.$$ С учётом условия $$t>0$$ имеем

$$0<t\le 1.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$0<5^x\le 1=5^0,$$

откуда

$$x\le 0.$$

Ответ

а) $$x\in[1;+\infty).$$
б) $$x\in(-\infty;0].$$