Упр.57.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\left(3-3\log_{0,2}x\right)^{13}<\left(\log_{0,2}x+7\right)^{13}$$; б) $$\left(3\log_{7}x-24\right)^5>\left(2\log_{7}x-22\right)^5$$.

а) Так как функция $$y=t^{13}$$ возрастает на всей числовой прямой, то неравенство равносильно системе

$$3-3\log_{0,2}x<\log_{0,2}x+7,$$

$$x>0.$$

Решим первое неравенство:

$$3-3\log_{0,2}x<\log_{0,2}x+7$$

$$-4\log_{0,2}x<4$$

$$\log_{0,2}x>-1.$$

Так как основание логарифма $$0,2<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$x<0,2^{-1}=5.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем

$$0<x<5.$$

Ответ: $$x\in(0;5).$$

б) Так как функция $$y=t^5$$ возрастает на всей числовой прямой, то неравенство равносильно системе

$$3\log_7 x-24>2\log_7 x-22,$$

$$x>0.$$

Решим первое неравенство:

$$3\log_7 x-24>2\log_7 x-22$$

$$\log_7 x>2.$$

Переходим к показательной форме:

$$x>7^2=49.$$

С учётом области определения получаем

$$x>49.$$

Ответ: $$x>49.$$