Упр.57.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$(2^{x+1}+1)^6\geq(2^x+17)^6$$;
• б) $$(2\cdot 0{,}1^x+3)^{10}\geq(0{,}1^x+103)^{10}$$.

а) Так как основания степеней положительны, применим теорему равносильности:

$$\left(2^{x+1}+1\right)^6 \ge \left(2^x+17\right)^6 \iff 2^{x+1}+1 \ge 2^x+17.$$

Тогда

$$2\cdot 2^x-2^x \ge 17-1,$$

$$2^x \ge 16,$$

$$2^x \ge 2^4,$$

откуда

$$x \ge 4.$$

Ответ: $$x \in [4; +\infty).$$

б) Аналогично, основания степеней положительны, поэтому

$$\left(2\cdot 0{,}1^x+3\right)^{10} \ge \left(0{,}1^x+103\right)^{10} \iff 2\cdot 0{,}1^x+3 \ge 0{,}1^x+103.$$

Получаем

$$2\cdot 0{,}1^x-0{,}1^x \ge 103-3,$$

$$0{,}1^x \ge 100,$$

$$0{,}1^x \ge 0{,}1^{-2},$$

значит,

$$x \le -2.$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -2].$$