Упр.57.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\left(x^2-6x\right)^5\geq(2x-7)^5$$;
• б) $$\left(x^2-2x\right)^9\leq\left(2x-x^2-2\right)^9$$.

Используем теорему равносильности: при нечётной степени знак неравенства сохраняется.

а)

$$\left(x^2-6x\right)^5 \ge \left(2x-7\right)^5$$

Тогда

$$x^2-6x \ge 2x-7$$

$$x^2-8x+7 \ge 0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-7\right) \ge 0$$

Произведение неотрицательно, если оба множителя одного знака:

$$x \le 1 \quad \text{или} \quad x \ge 7$$

б)

$$\left(x^2-2x\right)^9 \le \left(2x-x^2-2\right)^9$$

Тогда

$$x^2-2x \le 2x-x^2-2$$

$$2x^2-4x+2 \le 0$$

$$x^2-2x+1 \le 0$$

$$\left(x-1\right)^2 \le 0$$

Квадрат числа неотрицателен, значит неравенство выполняется только при

$$x=1$$

Ответ: а) $$x \in (-\infty;1] \cup [7;+\infty)$$; б) $$x=1$$.