Упр.57.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2^{\sqrt{x+4}} \geq \frac{1}{2}\sqrt{128}$$; б) $$0{,}5^{\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 1$$.

а) $$2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac12\sqrt{128}$$

Представим правую часть в виде степени двойки:

$$\frac12\sqrt{128}=2^{-1}\cdot 2^{\frac72}=2^{\frac52}.$$

Тогда

$$2^{\sqrt{x+4}} \ge 2^{\frac52}.$$

Так как функция $$2^t$$ возрастает, получаем:

$$\sqrt{x+4}\ge \frac52.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+4\ge \frac{25}{4}.$$

$$x\ge \frac{25}{4}-4=\frac94.$$

С учётом области определения $$x+4\ge 0$$ получаем тот же результат.

Ответ: $$x\in\left[\frac94;+\infty\right).$$

б) $$0{,}5^{\sin x+\frac{\sqrt3}{2}}\le 1$$

Так как $$1=0{,}5^0$$ и основание $$0{,}5$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, то при сравнении степеней знак неравенства меняется:

$$\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\sin x\ge -\frac{\sqrt3}{2}.$$

Решение этого неравенства:

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$