Упр.57.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2-5x)\ge\log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3)$$;
   б) $$\lg(5x^2-15x)\le\lg(2x-6)$$.

а) Для логарифмов с основанием $$\frac{1}{\pi}$$, где $$0<\frac{1}{\pi}<1$$, функция убывает, поэтому при сравнении аргументов знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2-5x)\ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x-3) \iff \begin{cases} 2x^2-5x \le 2x-3,\\ 2x^2-5x>0,\\ 2x-3>0. \end{cases}$$

Решим по отдельности:

$$2x^2-5x \le 2x-3$$

$$2x^2-7x+3 \le 0$$

$$D=49-24=25,\quad x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}$$

$$x_1=\frac12,\quad x_2=3$$

Значит,

$$\frac12 \le x \le 3.$$

Далее:

$$2x^2-5x>0 \iff x(2x-5)>0 \iff x<0 \ \text{или}\ x>\frac52.$$

И ещё:

$$2x-3>0 \iff x>\frac32.$$

Пересекаем все условия:

$$\left(\,x<0 \ \text{или}\ x>\frac52\,\right)\cap \left[\frac12,3\right]\cap \left(\frac32,+\infty\right) = \left(\frac52,3\right].$$

б) Так как основание логарифма $$10>1$$, функция возрастает, поэтому:

$$\lg(5x^2-15x)\le \lg(2x-6) \iff \begin{cases} 5x^2-15x \le 2x-6,\\ 5x^2-15x>0,\\ 2x-6>0. \end{cases}$$

Решим неравенства:

$$5x^2-15x \le 2x-6$$

$$5x^2-17x+6 \le 0$$

$$D=289-120=169,\quad x_{1,2}=\frac{17\pm 13}{10}$$

$$x_1=\frac25,\quad x_2=3$$

Следовательно,

$$\frac25 \le x \le 3.$$

Кроме того,

$$5x^2-15x>0 \iff 5x(x-3)>0 \iff x<0 \ \text{или}\ x>3,$$

а также

$$2x-6>0 \iff x>3.$$

Пересечение условий:

$$\left(\,x<0 \ \text{или}\ x>3\,\right)\cap \left[\frac25,3\right]\cap (3,+\infty)=\varnothing.$$

Ответ: а) $$x\in\left(\frac52,3\right]$$; б) $$x\in\varnothing$$.