Упр.57.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности: а) $$\log_{14}(x-1)\le\log_{14}(2x+3)$$; б) $$\log_{0,3}(2x+1)<\log_{0,3}(x-3)$$.

Так как основания логарифмов разные, учитываем их свойства.

а)

$$\log_{14}(x-1)\le \log_{14}(2x+3)$$

Так как $$14>1,$$ то логарифмическая функция возрастает, значит

$$x-1\le 2x+3.$$

Одновременно должны выполняться условия существования логарифмов:

$$x-1>0,\qquad 2x+3>0.$$

Решаем:

$$\begin{aligned} x-1\le 2x+3 &\Rightarrow x\ge -4,\\ x-1>0 &\Rightarrow x>1,\\ 2x+3>0 &\Rightarrow x>-\frac{3}{2}. \end{aligned}$$

Пересечение всех условий:

$$x>1.$$

б)

$$\log_{0,3}(2x+1)<\log_{0,3}(x-3)$$

Так как $$0<0,3<1,$$ то логарифмическая функция убывает, значит знак неравенства меняется:

$$2x+1>x-3.$$

Также должны выполняться условия существования логарифмов:

$$2x+1>0,\qquad x-3>0.$$

Решаем:

$$\begin{aligned} 2x+1>x-3 &\Rightarrow x>-4,\\ 2x+1>0 &\Rightarrow x>-\frac{1}{2},\\ x-3>0 &\Rightarrow x>3. \end{aligned}$$

Пересечение условий:

$$x>3.$$

Ответ

а) $$x>1$$; б) $$x>3$$.