Упр.56.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{\frac{2}{3}}(7x+9)-\log_{\frac{2}{3}}(8-x)=1$$;
б) $$\log_{1,2}(3x-1)+\log_{1,2}(3x+1)=\log_{1,2}8$$.

а) Область допустимых значений:

$$\begin{cases} 7x+9>0,\\ 8-x>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-\dfrac{9}{7},\\ x<8 \end{cases}$$

Значит, $$-\dfrac{9}{7}<x<8.$$

Преобразуем уравнение:

$$\log_{\frac{2}{3}}(7x+9)-\log_{\frac{2}{3}}(8-x)=1$$

$$\log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{8-x}=1$$

$$\log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{8-x}=\log_{\frac{2}{3}}\frac{2}{3}$$

$$\frac{7x+9}{8-x}=\frac{2}{3}$$

$$3(7x+9)=2(8-x)$$

$$21x+27=16-2x$$

$$23x=-11$$

$$x=-\dfrac{11}{23}$$

Проверка ОДЗ: $$-\dfrac{11}{23}\in\left(-\dfrac{9}{7},\,8\right),$$ значит корень подходит.

б) Область допустимых значений:

$$\begin{cases} 3x-1>0,\\ 3x+1>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>\dfrac{1}{3},\\ x>-\dfrac{1}{3} \end{cases}$$

Значит, $$x>\dfrac{1}{3}.$$

Решим уравнение:

$$\log_{1,2}(3x-1)+\log_{1,2}(3x+1)=\log_{1,2}8$$

$$\log_{1,2}\bigl((3x-1)(3x+1)\bigr)=\log_{1,2}8$$

$$(3x-1)(3x+1)=8$$

$$9x^2-1=8$$

$$9x^2=9$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm1$$

С учётом ОДЗ $$x>\dfrac{1}{3}$$ подходит только $$x=1.$$

Ответ: а) $$-\dfrac{11}{23}$$; б) $$1$$.