Упр.56.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(\sqrt{3}\right)^{\tg x}=\frac{3\sqrt{3}}{3^{\tg x}}.$$

Представим правую часть в виде степеней числа $$\sqrt{3}$$:

$$3\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}\right)^2\cdot \sqrt{3}=\left(\sqrt{3}\right)^3,$$

$$3^{\tg x}=\left(\left(\sqrt{3}\right)^2\right)^{\tg x}=\left(\sqrt{3}\right)^{2\tg x}.$$

Тогда

$$\left(\sqrt{3}\right)^{\tg x}=\frac{\left(\sqrt{3}\right)^3}{\left(\sqrt{3}\right)^{2\tg x}}=\left(\sqrt{3}\right)^{3-2\tg x}.$$

Так как основания равны и больше $$0$$, приравниваем показатели:

$$\tg x=3-2\tg x,$$

$$3\tg x=3,$$

$$\tg x=1.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$\left(\sqrt{2}\right)^{2\cos x}=\frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}.$$

Запишем всё через основание $$2$$:

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2\cos x}=\left(2^{1/2}\right)^{2\cos x}=2^{\cos x},$$

$$\frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}=2^{-1-\cos x}.$$

Тогда

$$2^{\cos x}=2^{-1-\cos x}.$$

Приравниваем показатели:

$$\cos x=-1-\cos x,$$

$$2\cos x=-1,$$

$$\cos x=-\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$