Упр.56.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$(2^{2x}+16)^{20}=(10\cdot 2^x)^{20}$$; б) $$(\log_{0,1^2}x-2)^3=(2\log_{0,1}x+1)^3$$.

а) Рассмотрим уравнение:

$$\left(2^{2x}+16\right)^{20}=\left(10\cdot 2^x\right)^{20}$$

Так как обе части неотрицательны, приравняем основания:

$$2^{2x}+16=10\cdot 2^x$$

Сделаем замену:

$$t=2^x,\quad t>0$$

Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2-10t+16=0$$

$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 16=100-64=36$$

$$t_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}$$

$$t_1=2,\quad t_2=8$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

$$2^x=8=2^3 \Rightarrow x=3$$

Оба корня подходят.

б) Рассмотрим уравнение:

$$\left(\log_{0,1}^2 x-2\right)^3=\left(2\log_{0,1}x+1\right)^3$$

Область допустимых значений:

$$x>0$$

Так как степени одинаковые, приравняем основания:

$$\log_{0,1}^2 x-2=2\log_{0,1}x+1$$

$$\log_{0,1}^2 x-2\log_{0,1}x-3=0$$

Сделаем замену:

$$t=\log_{0,1}x$$

Тогда:

$$t^2-2t-3=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

$$t_1=3,\quad t_2=-1$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_{0,1}x=3 \Rightarrow x=0{,}1^3=0{,}001$$

$$\log_{0,1}x=-1 \Rightarrow x=0{,}1^{-1}=10$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: а) $$1; 3$$; б) $$10; 0{,}001$$.