Упр.56.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{2}\left(x^2-4x+8\right)=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}$$
б) $$\log_{3}\left(x^2+4x+13\right)=\cos\pi x-\sin\frac{\pi x}{4}$$

а) Рассмотрим функции

$$y=\log_2(x^2-4x+8), \qquad g(x)=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}.$$

Преобразуем логарифмическую функцию:

$$x^2-4x+8=(x-2)^2+4,$$

значит,

$$y=\log_2\bigl((x-2)^2+4\bigr)\ge \log_2 4=2,$$

и равенство достигается при $$x=2.$$

Для функции $$g(x)$$ имеем

$$\sin\frac{5\pi x}{4}\le 1,\qquad -\cos\frac{\pi x}{2}\le 1,$$

поэтому

$$g(x)\le 2.$$

Равенство $$g(x)=2$$ возможно только при

$$\sin\frac{5\pi x}{4}=1,\qquad \cos\frac{\pi x}{2}=-1.$$

Из второго равенства получаем

$$\frac{\pi x}{2}=\pi+2\pi k,\qquad x=2+4k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Подставим в первое:

$$\sin\left(\frac{5\pi(2+4k)}{4}\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{2}+5\pi k\right)=1.$$

Это выполняется при чётных $$k$$, то есть при $$x=2+8m,\ m\in\mathbb Z.$$

Но для пересечения с графиком $$y$$ нужно, чтобы $$y=2$$, а это возможно только при $$x=2$$. Следовательно,

$$x=2.$$

б) Рассмотрим функции

$$y=\log_3(x^2+4x+13), \qquad g(x)=\cos(\pi x)-\sin\frac{\pi x}{4}.$$

Преобразуем логарифмическую функцию:

$$x^2+4x+13=(x+2)^2+9,$$

значит,

$$y=\log_3\bigl((x+2)^2+9\bigr)\ge \log_3 9=2,$$

и равенство достигается при $$x=-2.$$

Для функции $$g(x)$$ имеем

$$\cos(\pi x)\le 1,\qquad -\sin\frac{\pi x}{4}\le 1,$$

поэтому

$$g(x)\le 2.$$

Равенство $$g(x)=2$$ возможно только при

$$\cos(\pi x)=1,\qquad \sin\frac{\pi x}{4}=-1.$$

Из первого равенства

$$\pi x=2\pi n,\qquad x=2n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из второго

$$\frac{\pi x}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=-2+8k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Совместно это даёт единственное значение

$$x=-2.$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=-2$$.