Упр.56.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\sqrt{x^2-2x+2}+\log_3\sqrt{x^3-2x+10}=2$$; б) $$(x-7)^6+\log_5\sqrt{x^2-14x+74}=1$$.
а) Обозначим
$$y=\sqrt{x^2-2x+10}.$$
Тогда
$$x^2-2x+2=y^2-8,$$
и уравнение примет вид
$$\sqrt{y^2-8}+\log_3 y=2.$$
Область допустимых значений: $$y>0,$$ а также $$y^2-8\ge 0.$$
Рассмотрим функции
$$f(y)=\sqrt{y^2-8}, \qquad g(y)=2-\log_3 y.$$
При $$y>0$$ функция $$f(y)$$ возрастает, а $$g(y)$$ убывает, значит решение может быть только одно. Проверим значение $$y=3$$:
$$\sqrt{3^2-8}+\log_3 3=\sqrt{1}+1=2.$$
Следовательно, $$y=3.$$ Тогда
$$\sqrt{x^2-2x+10}=3,$$
$$x^2-2x+10=9,$$
$$x^2-2x+1=0,$$
$$\left(x-1\right)^2=0,$$
$$x=1.$$
б) Обозначим
$$y=\sqrt{x^2-14x+74}.$$
Тогда
$$x^2-14x+49=y^2-25,$$
и уравнение примет вид
$$\left(y^2-25\right)^3+\log_5 y=1.$$
Область допустимых значений: $$y>0,$$ а также $$y^2-25\ge 0.$$
Рассмотрим функции
$$f(y)=\left(y^2-25\right)^3, \qquad g(y)=1-\log_5 y.$$
При $$y>0$$ функция $$f(y)$$ возрастает, а $$g(y)$$ убывает, значит решение может быть только одно. Проверим значение $$y=5$$:
$$\left(5^2-25\right)^3+\log_5 5=0+1=1.$$
Следовательно, $$y=5.$$ Тогда
$$\sqrt{x^2-14x+74}=5,$$
$$x^2-14x+74=25,$$
$$x^2-14x+49=0,$$
$$\left(x-7\right)^2=0,$$
$$x=7.$$
Ответ: а) $$1$$; б) $$7$$.
