Упр.56.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{3}(x^2-10x+40)=\log_{3}(4x-8)$$; б) $$\log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x-2}{2x-4}\right)=\log_{\sqrt{3}}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)$$.

а) Область допустимых значений:

$$x^2-10x+40>0,\qquad 4x-8>0.$$

Так как

$$D=100-160=-60<0,$$

то $$x^2-10x+40>0$$ при всех $$x$$. Остаётся условие

$$x>2.$$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

$$x^2-10x+40=4x-8.$$

Получаем:

$$x^2-14x+48=0,$$

$$(x-6)(x-8)=0.$$

Отсюда $$x=6$$ или $$x=8$$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$6; 8.$$

б) Область допустимых значений:

$$\frac{x-2}{2x-4}>0,\qquad \frac{x+1}{x+2}>0.$$

Так как $$2x-4=2(x-2),$$ то при $$x\ne 2$$

$$\frac{x-2}{2x-4}=\frac{x-2}{2(x-2)}=\frac12.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac12=\frac{x+1}{x+2}.$$

Решаем:

$$x+2=2(x+1),$$

$$x+2=2x+2,$$

$$x=0.$$

Проверка: при $$x=0$$ все логарифмы определены, значит корень подходит.

Ответ: $$0.$$