Упр.56.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2^{5x-1}\left(\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\log_{0,5}(x+4)=0$$; б) $$\left(\sin 2x+\cos 2x\right)\left(x-8\sqrt{2x-15}\right)=0$$.

а) Рассмотрим произведение

$$2^{5x-1}\left(\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\right)\log_{0,5}(x+4)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$2^{5x-1}=0$$ — решений нет, так как показательная функция всегда положительна.

2) $$\sin x-\frac{\sqrt3}{2}=0,$$ откуда

$$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\log_{0,5}(x+4)=0,$$ значит

$$x+4=1,\quad x=-3.$$

Проверим область определения логарифма:

$$x+4>0 \;\Rightarrow\; x>-4,$$

поэтому $$x=-3$$ подходит.

Итак,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\qquad x=-3.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sin 2x+\cos 2x\right)\left(x-8\sqrt{2x-15}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. При этом нужно учесть ОДЗ:

$$2x-15\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge \frac{15}{2}.$$

1) $$\sin 2x+\cos 2x=0.$$ Делим на $$\cos 2x$$:

$$\tan 2x=-1.$$

Тогда

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом ОДЗ остаются только те значения, для которых $$x\ge \frac{15}{2}.$$

2) $$x-8\sqrt{2x-15}=0.$$ Тогда

$$x=8\sqrt{2x-15}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=64(2x-15),$$

$$x^2-128x+960=0,$$

$$D=128^2-4\cdot 960=12544,$$

$$x_{1,2}=\frac{128\pm 112}{2}.$$

Получаем

$$x_1=8,\qquad x_2=120.$$

Проверка по ОДЗ: $$x=8$$ и $$x=120$$ подходят.

Итак, решения уравнения:

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,\ x\ge \frac{15}{2};\qquad x=8;\qquad x=120.$$

Ответ: а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ -3.$$ б) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z,\ x\ge \frac{15}{2};\ 8;\ 120.$$