Упр.56.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}}=50$$; б) $$3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}}=24$$; в) $$3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$; г) $$5^x \cdot 2^{\frac{2-x}{x}}=40$$.

а) $$2^x\cdot 5^{\frac{1+x}{x}}=50$$

$$2^x\cdot 5^{\frac1x+1}=50$$

$$2^x\cdot 5^{\frac1x}=10$$

Возьмём логарифм по основанию $$2$$:

$$\log_2\!\left(2^x\cdot 5^{\frac1x}\right)=\log_2 10$$

$$x+\frac{\log_2 5}{x}=\log_2 10$$

$$x^2-(\log_2 10)\,x+\log_2 5=0$$

$$D=(\log_2 10)^2-4\log_2 5=(1+\log_2 5)^2-4\log_2 5=(1-\log_2 5)^2$$

$$x_{1,2}=\frac{\log_2 10\pm(1-\log_2 5)}{2}$$

$$x_1=1,\qquad x_2=\log_2 5$$

б) $$3^x\cdot 2^{\frac3x}=24$$

$$3^x\cdot 2^{\frac3x}=3\cdot 2^3$$

Возьмём логарифм по основанию $$3$$:

$$\log_3\!\left(3^x\cdot 2^{\frac3x}\right)=\log_3 24$$

$$x+\frac{3\log_3 2}{x}=\log_3 24$$

$$x^2-(\log_3 24)\,x+3\log_3 2=0$$

$$D=(\log_3 24)^2-12\log_3 2=(1-3\log_3 2)^2$$

$$x_{1,2}=\frac{\log_3 24\pm(1-3\log_3 2)}{2}$$

$$x_1=1,\qquad x_2=3\log_3 2$$

в) $$3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$

ОДЗ: $$x\ne 1$$.

$$625=5^4,\qquad 225=3^2\cdot 5^2$$

Возьмём логарифм по основанию $$3$$:

$$\log_3\!\left(3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}\right)=\log_3 225$$

$$x-1+\frac{x-2}{x-1}\log_3 625=\log_3 225$$

Умножим на $$x-1$$:

$$(x-1)^2+(x-2)\log_3 625-(x-1)\log_3 225=0$$

Положим $$t=x-1$$. Тогда

$$t^2+t(\log_3 625-\log_3 225)-\log_3 225=0$$

$$\log_3 625-\log_3 225=\log_3\frac{625}{225}=\log_3\frac{25}{9}=2\log_3\frac53$$

После решения квадратного уравнения получаем:

$$t_1=-2\log_3 5,\qquad t_2=2$$

Тогда

$$x_1=t_1+1=\log_3\frac{3}{25}=\log_3 0{,}12,\qquad x_2=t_2+1=3$$

г) $$5^x\cdot 2^{\frac{2+x}{x}}=40$$

$$5^x\cdot 2^{\frac2x+1}=40$$

$$5^x\cdot 2^{\frac2x}=20$$

Возьмём логарифм по основанию $$5$$:

$$\log_5\!\left(5^x\cdot 2^{\frac2x}\right)=\log_5 20$$

$$x+\frac{2\log_5 2}{x}=\log_5 20$$

$$x^2-(\log_5 20)\,x+2\log_5 2=0$$

$$D=(\log_5 20)^2-8\log_5 2=(1-2\log_5 2)^2$$

$$x_{1,2}=\frac{\log_5 20\pm(1-2\log_5 2)}{2}$$

$$x_1=1,\qquad x_2=\log_5 4$$

Ответ

а) $$1,\ \log_2 5$$; б) $$1,\ 3\log_3 2$$; в) $$\log_3 0{,}12,\ 3$$; г) $$1,\ \log_5 4$$.