Упр.56.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin x \cos x — 6\sin x + 6\cos x + 6 = 0$$; б) $$5\sin 2x — 11\sin x = 11\cos x — 7$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$\sin x\cos x-6\sin x+6\cos x+6=0$$

$$\sin x\cos x+6(\cos x-\sin x)+6=0.$$

Сделаем замену:

$$y=\cos x-\sin x.$$

Тогда

$$y^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=1-2\sin x\cos x,$$

откуда

$$\sin x\cos x=\frac{1-y^2}{2}.$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{1-y^2}{2}+6y+6=0,$$

$$1-y^2+12y+12=0,$$

$$y^2-12y-13=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=12^2+4\cdot 13=196,$$

$$y_{1,2}=\frac{12\pm 14}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-1,\qquad y_2=13.$$

Так как $$y=\cos x-\sin x$$ и $$-\sqrt2\le y\le \sqrt2,$$ значение $$y_2=13$$ не подходит.

Остаётся:

$$\cos x-\sin x=-1.$$

Представим левую часть в виде одной функции:

$$\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\pi+2\pi n.$$

Так как $$-\pi+2\pi n=\pi+2\pi n,$$ можно записать ответ так:

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$5\sin 2x-11\sin x=11\cos x-7$$

$$5\sin 2x-11\sin x-11\cos x+7=0.$$

Сделаем замену:

$$y=\sin x+\cos x.$$

Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

значит

$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}.$$

Подставим в уравнение:

$$10\cdot \frac{y^2-1}{2}-11y+7=0,$$

$$5y^2-11y+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=11^2-4\cdot 5\cdot 2=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{11\pm 9}{10}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac15,\qquad y_2=2.$$

Так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ значение $$y_2=2$$ не подходит.

Остаётся:

$$\sin x+\cos x=\frac15.$$

Представим сумму в виде одной функции:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac15,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{10}.$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$