Упр.56.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$3\tg^2 x — 8 = 4\cos^2 x$$; б) $$4\sin^2 x = 4 — 9\tg^2 x$$.

а) $$3\tg^2 x-8=4\cos^2 x$$

Используем формулу $$\tg^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}-1$$:

$$3\left(\dfrac{1}{\cos^2 x}-1\right)-8=4\cos^2 x$$

$$\dfrac{3}{\cos^2 x}-11=4\cos^2 x$$

Умножим на $$\cos^2 x$$:

$$3-11\cos^2 x=4\cos^4 x$$

$$4\cos^4 x+11\cos^2 x-3=0$$

Сделаем замену $$y=\cos^2 x$$, тогда

$$4y^2+11y-3=0$$

$$D=11^2+4\cdot 4\cdot 3=169$$

$$y_1=\dfrac{-11-13}{8}=-3,\qquad y_2=\dfrac{-11+13}{8}=\dfrac14$$

Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\ge 0$$. Поэтому

$$\cos^2 x=\dfrac14$$

$$\cos x=\pm \dfrac12$$

Следовательно,

$$x=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

б) $$4\sin^2 x=4-9\tg^2 x$$

Используем формулы $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$ и $$\tg^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}-1$$:

$$4(1-\cos^2 x)=4-9\left(\dfrac{1}{\cos^2 x}-1\right)$$

$$4-4\cos^2 x=13-\dfrac{9}{\cos^2 x}$$

Умножим на $$\cos^2 x$$:

$$4\cos^2 x-4\cos^4 x=13\cos^2 x-9$$

$$4\cos^4 x+9\cos^2 x-9=0$$

Положим $$y=\cos^2 x$$. Тогда

$$4y^2+9y-9=0$$

$$D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=225$$

$$y_1=\dfrac{-9-15}{8}=-3,\qquad y_2=\dfrac{-9+15}{8}=\dfrac34$$

Значение $$y=-3$$ не подходит. Значит,

$$\cos^2 x=\dfrac34$$

$$\cos x=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Отсюда

$$x=\pm \dfrac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ: а) $$x=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n$$; б) $$x=\pm \dfrac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}$$.