Упр.56.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos 6x-\cos 2x+\cos 8x-\cos 4x=0$$; б) $$\sin 3x-\sin x+\cos 3x-\cos x=0$$.

а) Преобразуем левую часть по формулам разности косинусов:

$$\cos 6x-\cos 2x+\cos 8x-\cos 4x=0$$

$$(\cos 6x-\cos 2x)+(\cos 8x-\cos 4x)=0$$

$$-2\sin 4x\sin 2x-2\sin 6x\sin 2x=0$$

$$-2\sin 2x(\sin 4x+\sin 6x)=0$$

$$-2\sin 2x\cdot 2\sin 5x\cos x=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

Решаем каждое уравнение:

$$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

$$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}$$

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Но множество $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, поэтому его можно не выделять отдельно.

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb{Z}$$

б) Преобразуем выражение:

$$\sin 3x-\sin x+\cos 3x-\cos x=0$$

$$(\sin 3x-\sin x)+(\cos 3x-\cos x)=0$$

$$2\cos 2x\sin x-2\sin 2x\sin x=0$$

$$2\sin x(\cos 2x-\sin 2x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x-\sin 2x=0$$

Первое уравнение даёт:

$$x=\pi n$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x=\sin 2x$$

$$\tan 2x=1$$

$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$