Упр.56.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\sin^2 x+\cos^2 2x=1$$; б) $$\cos^2 3x-\sin^2 3x-\cos 4x=0$$.

а) $$\sin^2 x+\cos^2 2x=1$$

Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:

$$\frac{1-\cos 2x}{2}+\cos^2 2x=1$$

Умножим на $$2$$:

$$1-\cos 2x+2\cos^2 2x=2$$

$$2\cos^2 2x-\cos 2x-1=0$$

Сделаем замену $$t=\cos 2x$$, тогда $$-1\le t\le 1$$:

$$2t^2-t-1=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

$$t_1=1,\quad t_2=-\frac12$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) $$\cos 2x=1$$, значит

$$2x=2\pi n,\quad x=\pi n$$

2) $$\cos 2x=-\frac12$$, значит

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$

Так как в ответе требуется записать все решения, получаем:

$$x=\pi n,\quad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

б) $$\cos^2 3x-\sin^2 3x-\cos 4x=0$$

Используем формулу $$\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a$$:

$$\cos 6x-\cos 4x=0$$

Применим формулу разности косинусов:

$$\cos 6x-\cos 4x=-2\sin 5x\sin x$$

Тогда

$$-2\sin 5x\sin x=0$$

Отсюда

$$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$

1) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}$$

2) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

Но решения $$x=\pi n$$ входят в множество $$x=\frac{\pi n}{5}$$, поэтому общее решение можно записать так:

$$x=\frac{\pi n}{5},\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi n}{5},\; n\in \mathbb{Z}$$