Упр.56.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$x^2-4x-6=\sqrt{2x^2-8x+12}$$; б) $$\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7$$.

а) Рассмотрим уравнение $$x^2-4x-6=\sqrt{2x^2-8x+12}.$$

Положим $$t=x^2-4x-6.$$ Тогда

$$2x^2-8x+12=2(x^2-4x+6)=2(t+12)=2t+24,$$

и уравнение принимает вид

$$t=\sqrt{2t+24}.$$

Так как правая часть неотрицательна, то $$t\ge 0.$$ Возведём обе части в квадрат:

$$t^2=2t+24$$

$$t^2-2t-24=0$$

$$\left(t-6\right)\left(t+4\right)=0.$$

Отсюда $$t=6$$ или $$t=-4.$$ Значение $$t=-4$$ не подходит, так как $$t\ge 0.$$

Тогда

$$x^2-4x-6=6$$

$$x^2-4x-12=0$$

$$\left(x-6\right)\left(x+2\right)=0.$$

Следовательно, $$x=-2$$ или $$x=6.$$

б) Решим уравнение $$\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7.$$

Перенесём $$x^2$$ вправо:

$$\sqrt{x^2-3x+5}=3x+7-x^2.$$

Положим $$t=x^2-3x+5.$$ Тогда

$$3x+7-x^2=12-t,$$

и получаем

$$\sqrt{t}=12-t.$$

Область допустимых значений:

$$t\ge 0,\qquad 12-t\ge 0,$$

то есть $$0\le t\le 12.$$ Возведём обе части в квадрат:

$$t=(12-t)^2$$

$$t=144-24t+t^2$$

$$t^2-25t+144=0.$$

$$D=25^2-4\cdot 144=625-576=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{25\pm 7}{2}.$$

Получаем $$t_1=9,$$ $$t_2=16.$$ Значение $$t=16$$ не подходит, так как $$t\le 12.$$

Тогда

$$x^2-3x+5=9$$

$$x^2-3x-4=0$$

$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0.$$

Следовательно, $$x=-1$$ или $$x=4.$$

Ответ: а) $$-2; 6$$; б) $$-1; 4$$.