Упр.56.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{3x-1}+\sqrt{6x+2}=\sqrt{9x+1}$$; б) $$\sqrt{6x-14}+\sqrt{5-x}=\sqrt{5x-9}$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{3x-1}+\sqrt{6x+2}=\sqrt{9x+1}.$$

Область допустимых значений:

$$3x-1\ge 0,\quad 6x+2\ge 0,\quad 9x+1\ge 0.$$

Отсюда $$x\ge \frac13.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{3x-1}+\sqrt{6x+2}\right)^2=9x+1.$$

$$3x-1+2\sqrt{(3x-1)(6x+2)}+6x+2=9x+1.$$

$$2\sqrt{(3x-1)(6x+2)}=0.$$

$$(3x-1)(6x+2)=0.$$

$$2(3x-1)(3x+1)=0.$$

Получаем кандидаты: $$x=\frac13$$ и $$x=-\frac13.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=\frac13.$$

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{6x-14}+\sqrt{5-x}=\sqrt{5x-9}.$$

Область допустимых значений:

$$6x-14\ge 0,\quad 5-x\ge 0,\quad 5x-9\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge \frac73,\quad x\le 5,\quad x\ge \frac95,$$

значит, $$\frac73\le x\le 5.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{6x-14}+\sqrt{5-x}\right)^2=5x-9.$$

$$6x-14+2\sqrt{(6x-14)(5-x)}+5-x=5x-9.$$

$$2\sqrt{(6x-14)(5-x)}=0.$$

$$(6x-14)(5-x)=0.$$

$$2(3x-7)(5-x)=0.$$

Получаем кандидаты: $$x=\frac73$$ и $$x=5.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$\frac13$$; б) $$\frac73,\ 5$$.