Упр.56.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2}$$; б) $$\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{3}$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2}.$$

ОДЗ:

$$x+1\ge 0,\quad x-1\ge 0,$$

откуда $$x\ge 1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)^2=2$$

$$x+1+2\sqrt{(x+1)(x-1)}+x-1=2$$

$$2x+2\sqrt{x^2-1}=2$$

$$\sqrt{x^2-1}=1-x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$1-x\ge 0,$$ значит $$x\le 1.$$

Совместно с $$x\ge 1$$ получаем $$x=1.$$

Проверка: $$\sqrt{1+1}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}+0=\sqrt{2}.$$

Следовательно, $$x=1.$$

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{3}.$$

ОДЗ:

$$2x+1\ge 0,\quad x-1\ge 0,$$

откуда $$x\ge 1.$$

Перенесём второй корень вправо:

$$\sqrt{2x+1}=\sqrt{3}+\sqrt{x-1}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2x+1=3+2\sqrt{3(x-1)}+x-1,$$

$$x-1=2\sqrt{3(x-1)}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$\left(x-1\right)^2=12(x-1),$$

$$\left(x-1\right)\left(x-13\right)=0.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=13.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ и исходному уравнению.

Проверка:

$$x=1:\ \sqrt{3}-0=\sqrt{3};$$

$$x=13:\ \sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}.$$

Следовательно, $$x=1,\ 13.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$1,\ 13$$.