Упр.56.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$0{,}5^{\sin x-\cos x}=1$$; б) $$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}\cdot\sqrt[3]{3}=\sqrt[4]{729}$$.

а) $$0{,}5^{\sin x-\cos x}=1$$

Так как $$1=0{,}5^0,$$ получаем

$$\sin x-\cos x=0.$$

Тогда

$$\sin x=\cos x,$$

$$\tg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

б) $$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt[4]{729}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\sqrt[4]{729}=\sqrt[4]{3^6}=3\sqrt{3}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt{3}=3\sqrt{3},$$

откуда

$$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}=1.$$

Так как $$\sqrt{3}\neq 1,$$ то

$$\sin^2 x-1=0,$$

$$\sin^2 x=1,$$

$$\sin x=\pm 1.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{2}+\pi n.$$