Упр.56.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt[5]{x}-\sqrt[10]{x}-2=0$$; б) $$\sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0$$; в) $$\sqrt[3]{x}-6\sqrt[6]{x}+8=0$$; г) $$3\sqrt[4]{x}-\sqrt[8]{x}-2=0$$.

а) Пусть $$y=\sqrt[10]{x},$$ тогда $$\sqrt[5]{x}=y^2.$$ Получаем:

$$y^2-y-2=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0$$

Так как $$y=\sqrt[10]{x}\ge 0,$$ то $$y=-1$$ не подходит. Тогда

$$\sqrt[10]{x}=2$$

$$x=2^{10}=1024$$

Ответ: $$1024$$.

б) Пусть $$y=\sqrt[8]{x},$$ тогда $$\sqrt[4]{x}=y^2.$$ Получаем:

$$y^2+2y-3=0$$

$$\left(y+3\right)\left(y-1\right)=0$$

Так как $$y=\sqrt[8]{x}\ge 0,$$ то $$y=-3$$ не подходит. Тогда

$$\sqrt[8]{x}=1$$

$$x=1^8=1$$

Ответ: $$1$$.

в) Пусть $$y=\sqrt[6]{x},$$ тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2.$$ Получаем:

$$y^2-6y+8=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0$$

Следовательно,

$$\sqrt[6]{x}=2 \quad \text{или} \quad \sqrt[6]{x}=4$$

Тогда

$$x=2^6=64 \quad \text{или} \quad x=4^6=4096$$

Ответ: $$64; 4096$$.

г) Пусть $$y=\sqrt[8]{x},$$ тогда $$\sqrt[4]{x}=y^2.$$ Получаем:

$$3y^2-y-2=0$$

$$\left(3y+2\right)\left(y-1\right)=0$$

Так как $$y=\sqrt[8]{x}\ge 0,$$ то $$y=-\frac{2}{3}$$ не подходит. Тогда

$$\sqrt[8]{x}=1$$

$$x=1^8=1$$

Ответ: $$1$$.