Упр.56.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$16x-15\sqrt{x}-1=0$$; б) $$2-x+3\sqrt{2-x}=4$$; в) $$3x-8\sqrt{x}+5=0$$; г) $$5\sqrt{x+3}+x+3=6$$.

а) Область допустимых значений: $$x \ge 0.$$

Сделаем замену: $$\sqrt{x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда получаем

$$16t^2-15t-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=15^2+4\cdot 16=225+64=289,$$

$$t_{1,2}=\frac{15\pm 17}{32}.$$

Тогда

$$t_1=-\frac{1}{16}\quad \text{не подходит},$$

$$t_2=1.$$

Следовательно, $$\sqrt{x}=1,$$ откуда $$x=1.$$

б) Область допустимых значений: $$2-x\ge 0,\quad x\le 2.$$

Сделаем замену: $$\sqrt{2-x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда

$$t^2+3t-4=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t+4\right)\left(t-1\right)=0.$$

Получаем

$$t_1=-4\quad \text{не подходит},\qquad t_2=1.$$

Значит, $$\sqrt{2-x}=1,$$ откуда

$$2-x=1,\quad x=1.$$

в) Область допустимых значений: $$x\ge 0.$$

Сделаем замену: $$\sqrt{x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда

$$3t^2-8t+5=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(3t-5\right)\left(t-1\right)=0.$$

Отсюда

$$t_1=\frac{5}{3},\qquad t_2=1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sqrt{x}=\frac{5}{3}\Rightarrow x=\frac{25}{9},$$

$$\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1.$$

г) Область допустимых значений: $$x+3\ge 0,\quad x\ge -3.$$

Сделаем замену: $$\sqrt{x+3}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда

$$t^2+5t-6=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t+6\right)\left(t-1\right)=0.$$

Получаем

$$t_1=-6\quad \text{не подходит},\qquad t_2=1.$$

Следовательно, $$\sqrt{x+3}=1,$$ значит

$$x+3=1,\quad x=-2.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$1,\ \frac{25}{9}$$; г) $$-2$$.