Упр.56.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\sqrt{6x^2-3}=\sqrt{5x-2}$$; б) $$\sqrt{3x^2-5x}=\sqrt{x^2+2x-5}$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{6x^2-3}=\sqrt{5x-2}.$$

Так как обе части неотрицательны, возведём уравнение в квадрат:

$$6x^2-3=5x-2.$$

Получаем:

$$6x^2-5x-1=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(6x+1\right)\left(x-1\right)=0.$$

Отсюда

$$x=-\frac16 \quad \text{или} \quad x=1.$$

Проверим:

$$x=-\frac16:\quad 5x-2=-\frac{17}{6}<0,$$

значит, это значение не подходит.

$$x=1:\quad \sqrt{6\cdot 1^2-3}=\sqrt3,\qquad \sqrt{5\cdot 1-2}=\sqrt3.$$

Следовательно, $$x=1.$$

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{3x^2-5x}=\sqrt{x^2+2x-5}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$3x^2-5x=x^2+2x-5.$$

Получаем:

$$2x^2-7x+5=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(2x-5\right)\left(x-1\right)=0.$$

Отсюда

$$x=\frac52 \quad \text{или} \quad x=1.$$

Проверим область допустимых значений:

$$3x^2-5x\ge 0,\qquad x^2+2x-5\ge 0.$$

При $$x=1$$ получаем $$3-5=-2<0,$$ значит, это значение не подходит.

При $$x=\frac52$$:

$$3\left(\frac52\right)^2-5\cdot\frac52=\frac{75}{4}-\frac{50}{4}=\frac{25}{4},$$

$$\left(\frac52\right)^2+2\cdot\frac52-5=\frac{25}{4}+\frac{20}{4}-\frac{20}{4}=\frac{25}{4}.$$

Следовательно, $$x=\frac52.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac52$$.