Упр.56.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$(x-1)^4+36=13(x^2-2x+1);$$ б) $$(2x+3)^4-9=8(4x^2+12x+9).$$

а) $$\left(x-1\right)^4+36=13\left(x^2-2x+1\right)=13\left(x-1\right)^2.$$

Сделаем замену: $$t=\left(x-1\right)^2,\quad t\ge 0.$$ Тогда получаем

$$t^2-13t+36=0,$$

$$\left(t-4\right)\left(t-9\right)=0,$$

откуда $$t=4$$ или $$t=9.$$

1) $$\left(x-1\right)^2=4,$$ тогда

$$x-1=\pm 2,$$

$$x=-1,\;3.$$

2) $$\left(x-1\right)^2=9,$$ тогда

$$x-1=\pm 3,$$

$$x=-2,\;4.$$

Итак, $$x=-2,\,-1,\,3,\,4.$$

б) $$\left(2x+3\right)^4-9=8\left(4x^2+12x+9\right)=8\left(2x+3\right)^2.$$

Сделаем замену: $$t=\left(2x+3\right)^2,\quad t\ge 0.$$ Тогда

$$t^2-8t-9=0,$$

$$\left(t-9\right)\left(t+1\right)=0.$$

Так как $$t\ge 0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит, значит $$t=9.$$

Тогда

$$\left(2x+3\right)^2=9,$$

$$2x+3=\pm 3,$$

откуда

$$x=0,\;-3.$$

Ответ: а) $$-2,\,-1,\,3,\,4$$; б) $$-3,\,0$$.