Упр.56.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\lg^2 x^2+\lg 10x-6=0$$;
   б) $$3^x+3^{-x+1}=4$$;
   в) $$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$;
   г) $$5^{2\sqrt{x}}+125=6\cdot5^{\sqrt{x}}+1$$.

а) Обозначим $$t=\lg x.$$ Тогда $$\lg x^2=2\lg x=2t,$$ а $$\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+t.$$ Получаем:

$$(2t)^2+(1+t)-6=0$$
$$4t^2+t-5=0$$
$$(4t+5)(t-1)=0$$
$$t_1=-\frac54,\quad t_2=1$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x=-\frac54 \Rightarrow x=10^{-\frac54}$$
$$\lg x=1 \Rightarrow x=10$$

б) Сделаем замену $$t=3^x,$$ тогда $$3^{-x+1}=\frac{3}{3^x}=\frac{3}{t}.$$ Имеем:

$$t+\frac{3}{t}=4$$
$$t^2-4t+3=0$$
$$(t-1)(t-3)=0$$
$$t_1=1,\quad t_2=3$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$3^x=3 \Rightarrow x=1$$

в) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$ Получаем:

$$2t^2-7t-4=0$$
$$(2t+1)(t-4)=0$$
$$t_1=-\frac12,\quad t_2=4$$

Значение $$t_2=4$$ не подходит, так как $$\cos x$$ не может быть больше $$1.$$ Тогда

$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) Область допустимых значений: $$x\ge 0.$$ Сделаем замену $$t=5^{\sqrt{x}},\ t>0.$$ Тогда уравнение принимает вид:

$$t^2-30t+125=0$$
$$(t-5)(t-25)=0$$
$$t_1=5,\quad t_2=25$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$5^{\sqrt{x}}=5 \Rightarrow \sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1$$
$$5^{\sqrt{x}}=25 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4$$

Ответ: а) $$10^{-\frac54},\ 10$$; б) $$0,\ 1$$; в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$1,\ 4$$.