Упр.56.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$2^{\sqrt{x-3}}=\frac{1}{2}\sqrt{32}$$;
2. $$10^{\log_2(x-3)}\cdot 0{,}00001=0{,}1^{\log_2(x-7)}$$.

а) $$2^{\sqrt{x-3}}=\frac12\sqrt{32}$$

Область допустимых значений:

$$x-3\ge 0,\quad x\ge 3$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac12\sqrt{32}=\frac12\cdot 4\sqrt2=2\sqrt2=2\cdot 2^{1/2}=2^{3/2}$$

Тогда

$$2^{\sqrt{x-3}}=2^{3/2}$$

Следовательно,

$$\sqrt{x-3}=\frac32$$

$$x-3=\frac94$$

$$x=\frac94+3=\frac{21}{4}$$

Проверка ОДЗ выполнена: $$\frac{21}{4}\ge 3$$.

Ответ: $$\frac{21}{4}$$.

б) $$10^{\log_2(x-3)}\cdot 0{,}00001=0{,}1^{\log_2(x-7)}$$

Область допустимых значений:

$$x-3>0,\quad x-7>0$$

$$x>7$$

Запишем числа в виде степеней десяти:

$$0{,}00001=10^{-5},\quad 0{,}1=10^{-1}$$

Тогда

$$10^{\log_2(x-3)}\cdot 10^{-5}=10^{-\log_2(x-7)}$$

$$10^{\log_2(x-3)-5}=10^{-\log_2(x-7)}$$

Приравниваем показатели:

$$\log_2(x-3)-5=-\log_2(x-7)$$

$$\log_2(x-3)+\log_2(x-7)=5$$

$$\log_2\bigl((x-3)(x-7)\bigr)=5$$

$$(x-3)(x-7)=2^5=32$$

$$x^2-10x+21=32$$

$$x^2-10x-11=0$$

$$D=100+44=144$$

$$x=\frac{10\pm 12}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=11$$

С учетом ОДЗ $$x>7$$ подходит только $$x=11$$.

Ответ: $$11$$.