Упр.56.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$7^{2x+1}-50\cdot7^x=-7$$;
б) $$\log_2^2 x+12=7\log_2 x$$;
в) $$4\sin^2 x+4=17\sin x$$;
г) $$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2=0$$.
а) Сделаем замену: $$7^x=t,\quad t>0.$$ Тогда
$$7^{2x+1}-50\cdot 7^x=-7$$
$$7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^x+7=0$$
$$7t^2-50t+7=0.$$
Найдём корни квадратного уравнения:
$$D=50^2-4\cdot 7\cdot 7=2500-196=2304,$$
$$t_{1,2}=\frac{50\pm 48}{14}.$$
Тогда
$$t_1=\frac{1}{7},\quad t_2=7.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$7^x=\frac{1}{7}=7^{-1}\Rightarrow x=-1,$$
$$7^x=7\Rightarrow x=1.$$
б) Сделаем замену: $$\log_2 x=t.$$ Тогда
$$\log_2^2 x+12=7\log_2 x$$
$$t^2-7t+12=0.$$
Разложим на множители:
$$(t-3)(t-4)=0.$$
Отсюда
$$t_1=3,\quad t_2=4.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_2 x=3\Rightarrow x=2^3=8,$$
$$\log_2 x=4\Rightarrow x=2^4=16.$$
в) Сделаем замену: $$\sin x=t,\quad -1\le t\le 1.$$ Тогда
$$4\sin^2 x+4=17\sin x$$
$$4t^2-17t+4=0.$$
Разложим на множители:
$$(4t-1)(t-4)=0.$$
Получаем
$$t_1=\frac14,\quad t_2=4.$$
Значение $$t_2=4$$ не подходит, так как $$-1\le \sin x\le 1.$$ Поэтому
$$\sin x=\frac14.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Сделаем замену: $$\sqrt[6]{x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2=0$$
$$t^2-t-2=0.$$
Разложим на множители:
$$(t+1)(t-2)=0.$$
Отсюда
$$t_1=-1,\quad t_2=2.$$
Так как $$t\ge 0,$$ значение $$t_1=-1$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt[6]{x}=2\Rightarrow x=2^6=64.$$
Ответ: а) $$-1; 1$$; б) $$8; 16$$; в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$64$$.
