Упр.56.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$2^x+2^{1-x}=3$$; б) $$25^{-x}-50=5^{-x+1}$$; в) $$5^x+4=5^{2x+1}$$; г) $$3^{x+1}-29=-18\cdot3^{-x}$$.
а) $$2^x+2^{1-x}=3$$
Положим $$y=2^x$$, тогда $$2^{1-x}=\dfrac{2}{2^x}=\dfrac{2}{y}$$. Получаем:
$$y+\dfrac{2}{y}=3$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-3y+2=0$$
$$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0$$
$$y_1=1,\quad y_2=2$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$2^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$
Ответ: $$0; 1$$
б) $$25^{-x}-50=5^{-x+1}$$
Так как $$25^{-x}=5^{-2x}$$, получаем:
$$5^{-2x}-50=5^{-x+1}$$
Положим $$y=5^{-x}$$, тогда $$5^{-2x}=y^2$$ и $$5^{-x+1}=5y$$. Тогда:
$$y^2-5y-50=0$$
$$\left(y+5\right)\left(y-10\right)=0$$
$$y_1=-5,\quad y_2=10$$
Так как $$y=5^{-x}>0$$, значение $$y=-5$$ не подходит. Значит,
$$5^{-x}=10$$
$$-x=\log_5 10$$
$$x=-\log_5 10$$
Ответ: $$-\log_5 10$$
в) $$5^x+4=5^{2x+1}$$
Преобразуем правую часть:
$$5^x+4=5\cdot 5^{2x}$$
Положим $$y=5^x$$, тогда $$5^{2x}=y^2$$. Получаем:
$$5y^2-y-4=0$$
$$\left(5y+4\right)\left(y-1\right)=0$$
$$y_1=-\dfrac45,\quad y_2=1$$
Так как $$y=5^x>0$$, значение $$y=-\dfrac45$$ не подходит. Тогда
$$5^x=1$$
$$5^x=5^0$$
$$x=0$$
Ответ: $$0$$
г) $$3^{x+1}-29=-18\cdot 3^{-x}$$
Преобразуем уравнение:
$$3\cdot 3^x-29+\dfrac{18}{3^x}=0$$
Положим $$y=3^x$$, тогда $$3^{-x}=\dfrac1y$$. Получаем:
$$3y-29+\dfrac{18}{y}=0$$
Умножим на $$y$$:
$$3y^2-29y+18=0$$
$$\left(3y-2\right)\left(y-9\right)=0$$
$$y_1=\dfrac23,\quad y_2=9$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$3^x=\dfrac23 \Rightarrow x=\log_3 \dfrac23=\log_3 2-1$$
$$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2$$
Ответ: $$\log_3 2-1; 2$$
