Упр.56.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}+4\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=4$$;

б) $$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}+5\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}}=6$$.

а) Введём новую переменную:

$$t=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}, \quad t>0.$$

Тогда

$$t+\frac{4}{t}=4.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-4t+4=0,$$

$$\left(t-2\right)^2=0,$$

$$t=2.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=2,$$

$$\frac{2x+3}{2x-1}=4,$$

$$2x+3=4(2x-1),$$

$$2x+3=8x-4,$$

$$6x=7,$$

$$x=\frac{7}{6}.$$

б) Введём новую переменную:

$$t=\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}, \quad t>0.$$

Тогда

$$t+\frac{5}{t}=6.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-6t+5=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-5\right)=0,$$

откуда $$t=1$$ или $$t=5.$$

1) Если $$t=1$$, то

$$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}=1,$$

$$\frac{5x-1}{x+3}=1,$$

$$5x-1=x+3,$$

$$4x=4,$$

$$x=1.$$

2) Если $$t=5$$, то

$$\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}=5,$$

$$\frac{5x-1}{x+3}=25,$$

$$5x-1=25(x+3),$$

$$5x-1=25x+75,$$

$$-20x=76,$$

$$x=-\frac{19}{5}.$$

Оба значения удовлетворяют области определения.

Ответ

а) $$x=\frac{7}{6}$$; б) $$x=1,\; -\frac{19}{5}.$$