Упр.56.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной:
   а) $$8x^6+7x^3-1=0$$;
   б) $$x^8+3x^4-4=0$$.

Пусть $$y=x^3.$$ Тогда уравнение

$$8x^6+7x^3-1=0$$

примет вид

$$8y^2+7y-1=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=7^2-4\cdot 8\cdot(-1)=49+32=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2\cdot 8}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{2}{16}=\frac18,\qquad y_2=\frac{-16}{16}=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^3=\frac18 \Rightarrow x=\frac12,$$

$$x^3=-1 \Rightarrow x=-1.$$

Для уравнения

$$x^8+3x^4-4=0$$

положим $$y=x^4.$$ Тогда получим

$$y^2+3y-4=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}.$$

Отсюда

$$y_1=1,\qquad y_2=-4.$$

Значение $$y=-4$$ не подходит, так как $$x^4\ge 0.$$ Поэтому

$$x^4=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Ответ

а) $$x=-1,\ \frac12$$; б) $$x=-1,\ 1$$.