Упр.56.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Будет ли уравнение вида $$h(f(x)) = h(g(x))$$ равносильно уравнению $$f(x) = g(x)$$:
   а) $$3^{2-x} = 3^{x^2-4x}$$;
   б) $$(3x^2-2)^4 = (x-3)^4$$;
   в) $$\sqrt[3]{7-x} = \sqrt[3]{5x+1}$$;
   г) $$\lg\frac{1}{x} = \lg(2x-7)$$?

а) Функция $$y=3^x$$ строго возрастает, поэтому из равенства

$$3^{2-x}=3^{x^2-4x}$$

следует равенство показателей:

$$2-x=x^2-4x.$$

Значит, уравнения равносильны.

Ответ: да.

б) Функция $$y=x^4$$ не является взаимно однозначной: из равенства

$$\left(3x^2-2\right)^4=(x-3)^4$$

не следует равенство

$$3x^2-2=x-3,$$

так как при возведении в четвёртую степень теряется знак. Поэтому уравнения неравносильны.

Ответ: нет.

в) Функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ строго возрастает на всей области определения, поэтому можно возвести обе части в куб:

$$\sqrt[3]{7-x}=\sqrt[3]{5x+1}$$

$$7-x=5x+1.$$

Значит, уравнения равносильны.

Ответ: да.

г) Для логарифмов необходимо, чтобы оба выражения были положительными:

$$\frac{1}{x}>0,\qquad 2x-7>0.$$

Отсюда получаем разные области определения, поэтому уравнение

$$\lg\frac{1}{x}=\lg(2x-7)$$

не равносильно уравнению

$$\frac{1}{x}=2x-7.$$

Ответ: нет.